Page 214 - 捷運工程叢書 精進版 － 8 捷運隧道工程實務

臺北市政府捷運工程局

由於隧道斷面為圓形設計，所以中心的計算可以三點求圓之模式計算，而較嚴密之計

算，則可以最小二乘法之計算模式求算，其式如下：
由測一圓周數點（3 點以上，一般為 7 或 8 點），求圓心及半徑。
解：數學模式 F（Xa，La）=0 Xa：未知數 La：觀測量

R2=（Xi-XC）2+（Yi-YC）2 i=1.....n

式 中： 圓 心 座 標（XC，YC） 及 半 徑 R 為 3 個 未 知 參 數、 圓 周 點 座 標（Xi，Yi）

i=1.....n 為觀測值。可列 r=n 個條件方程式 n = 2n u-3
測值。可列r = n個條件方程式n = 2n u − 3
測值。可列r = n個條件方程式n = 2n u − 3
測值。可列r = n個條件方程式n = 2n u − 3
測值。可列r = n個條件方程式n = 2n u − 3
線性化 F（Xa，La）=AX+BV+W=0
線性化F（Xa，La） = AX + BV + W = 0
線性化F（Xa，La） = AX + BV + W = 0
線性化F（Xa，La） = AX + BV + W = 0
線性化F（Xa，La） = AX + BV + W = 0
組條件式
組條件式
組條件式
組條件式
組條件式
A11 A12 A13
A11 A12 A13
A11 A12 A13
A11 A12 A13
A = A21 A22 A23
A = A21 A22 A23
A = A21 A22 A23
A = A21 A22 A23
N ×3 ： ： ：
N ×3 ： ： ：
N ×3 ： ： ：
N ×3 ： ： ：
Roll
An1 An2 An3
Roll
An1 An2 An3 Roll Roll
An1 An2 An3
An1 An2 An3
B11 B12 B13… B12n.
B11 B12 B13… B12n.
B11 B12 B13… B12n.
B11 B12 B13… B12n.
B = B21 B22 B23… :
B = B21 B22 B23… :
B = B21 B22 B23… :
B = B21 B22 B23… :
N ×2N : : : :
N ×2N : : : :
N ×2N : : : :
N ×2N : : : :
Bn1…………….Bn2n
Bn1…………….Bn2n
Bn1…………….Bn2n
Bn1…………….Bn2n

W1
W1
W1

W1
W2
W2
W2
W2

W = f（Xb ,Lb）= : 圖6-3-2 隧道斷面測量
W = f（Xb ,Lb）= : 圖6-3-2 隧道斷面測量
W = f（Xb ,Lb）= : 圖6-3-2 隧道斷面測量
W = f（Xb ,Lb）= : 圖6-3-2 隧道斷面測量
n×1 Wn
n×1 Wn
n×1 Wn
n×1 Wn

f i fi fi
fi fi fi
f i fi fi

f i fi fi
式中 Ai = －， － ，－ =（-2（Xi-Xc0），-2（Yi-Yc0），-2R0）
式中 Ai = －， － ，－ =（-2（Xi-Xc0），-2（Yi-Yc0），-2R0）
式中
式中 A i = －， － ，－ =（-2（Xi-Xc0），-2（Yi-Yc0），-2R0）
式中 Ai = －， － ，－ =（-2（Xi-Xc0），-2（Yi-Yc0），-2R0）
x C YC R

xC YC R
x C YC R

x C YC R

fi fi

fi fi
fi fi

fi fi
=（2（Xi-XC0），2（Yi-Yc0））
Bi = － ， －
Bi = － ， － =（2（Xi-XC0），2（Yi-Yc0））
Bi = － ， － =（2（Xi-XC0），2（Yi-Yc0））
=（2（Xi-XC0），2（Yi-Yc0））
Bi = － ， －

xi Yi
xi Yi

xi Yi
xi Yi

2 2
2 2
2
2
Wi = （Xi-XC0） +（Yi-YC0） - R0
2
Wi = （Xi-XC0） +（Yi-YC0） - R0 2
Wi = （Xi-XC0） +（Yi-YC0） - R0
Wi = （Xi-XC0） +（Yi-YC0） - R0
XC0，YC0，R0分別為未知參數XC，YC，R之近似值
XC0，YC0，R0分別為未知參數XC，YC，R之近似值
XC0，YC0，R0分別為未知參數XC，YC，R之近似值
分別為未知參數
之近似值
XC0，YC0，R0分別為未知參數XC，YC，R之近似值
2
P = δ0 C-1 = diag（）

2
P = δ0 C-1 = diag（）
2
P = δ0 C-1 = diag（）
2

P = δ0 C-1 = diag（）
P-1 =δ0 Cb

-2
P-1 =δ0 Cb -2 -2 -2
P-1 =δ0 Cb

P-1 =δ0 Cb
解法方程式：
解法方程式：
解法方程式：
解法方程式：
M = B P B
t
-1
M = B P B -1 -1 -1 t t t
M = B P B
M = B P
t B
-1
N = A M A => N
-1
t
N = A M A => N -1 -1 -1 -1 198 199
-1
t
N = A M A => N
-1
t
N = A
t M A => N
U = A M W
-1
t
U = A M W -1 -1
t
-1
U = A M W
t
U = A M
-1 W

X = -N U
-1
X = -N U -1
-1
X = -N U

X = -N U
Xa = X + X0
Xa = X + X0
Xa = X + X0
Xa = X + X0
漸進重複 X<< => Xa
漸進重複 X<< => Xa
漸進重複 X<< => Xa
漸進重複 X<< => Xa
t
-1
-1
求改正數 V = -P B M （A X + W）
-1
-1
t
求改正數 V = -P B t -1 -1 M （A X + W）
-1
求改正數 V = -P B M （A X + W）
-1
t
t （A X + W）
求改正數 V = -P B M
-1
t
V P V = - R （校核） K = M （AX+U）
-1
t
t
t
-1
t
V P V = - R （校核） K = M （AX+U）
V P V = - R （校核） K = M （AX+U）
-1
t
t
V P V = - R （校核） K = M （AX+U）
165
165 165
165